נקודות חיתוך וקיצון מבגרות 482 – cos x ו־cos(2x)חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 21
בגרות 482 · חורף 2022 · שאלה 3 · סעיפים א–ג
שיעור 21 – נקודות חיתוך וקיצון מבגרות 482 – cos x ו־cos(2x)
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים
3סעיף ב(1) – נקודות הקיצון של f
4סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g
5סעיף ג – הגרפים באותה מערכת צירים
📄 נוסח השאלה
נתונות הפונקציות: f(x) = cos(x) , g(x) = cos(2x) המוגדרות בתחום: 0 ≤ x ≤ π .
א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציות f(x) ו־g(x) .
ב. (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
(2) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) , וקבע את סוגן.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. סרטט באותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) .
סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים
בנקודת חיתוך שתי הפונקציות שוות, ולכן משווים:
cos x = cos(2x)
יש כאן זווית x וזווית 2x . כדי שהכול יהיה עם cos x בלבד, בוחרים את הצורה של cos(2x) שיש בה רק קוסינוס:
cos x = cos(2x)
נציב cos(2x) = 2cos2x − 1 :
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos x = 2cos2x − 1
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = 2cos2x − 1
סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים · המשך
cos x = 2cos2x − 1
מעבירים הכול לאגף אחד – מקבלים משוואה ריבועית ב־cos x :
2cos2x − cos x − 1 = 0
כדי שיהיה נוח, נסמן t = cos x . נציב cos x = t :
2t2 − t − 1 = 0
t = 1 ± √(1 + 8)4 = 1 ± 34
📐 נוסחת השורשים
📐 נוסחת השורשים
t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים · המשך
t = 1 ± √(1 + 8)4 = 1 ± 34
📐 נוסחת השורשים
t = 1 , t = −12
אפשרות 1: cos x = 1 . בתחום 0 ≤ x ≤ π זה רק x = 0 .
אפשרות 2: cos x = −12 .
cos 2π3 = −12
📐 ערך מיוחד
x = 2π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
📐 נוסחת השורשים
t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
📐 ערך מיוחד
cos 2π3 = −12
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים · המשך
x = 2π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −2π3 + 2πk
בתחום מתקבל רק x = 2π3 (עבור k = 0 ). הפתרון −2π3 + 2π = 4π3 גדול מ־π .
שיעור y – מציבים באחת הפונקציות, למשל ב־f(x) = cos x :
f(0) = cos 0 = 1
f(2π3) = cos 2π3 = −12
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – נקודות החיתוך של הגרפים · המשך
f(2π3) = cos 2π3 = −12
בדיקה: g(2π3) = cos 4π3 = −12 – אותו ערך ✓
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (2π3 , −12)
סעיף ב(1) – נקודות הקיצון של f
f′(x) = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
בתוך התחום 0 < x < π הסינוס חיובי, ולכן f′(x) = −sin x < 0 – הנגזרת תמיד שלילית.
הפונקציה f(x) יורדת בכל התחום, ואין לה נקודות קיצון פנימיות. נקודות הקיצון הן קצות התחום.
📐 עלייה וירידה
f(0) = cos 0 = 1
f(π) = cos π = −1
הפונקציה יורדת מ־1 עד −1 : בהתחלה מקסימום קצה, ובסוף מינימום קצה.
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף ב(1) – נקודות הקיצון של f · המשך
הפונקציה יורדת מ־1 עד −1 : בהתחלה מקסימום קצה, ובסוף מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 1) , מינימום קצה (π , −1)
סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g
g′(x) = −2sin(2x)
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
משווים את הנגזרת ל־0:
−2sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
sin(2x) = 0
הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0 (הזווית כאן היא 2x ):
2x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g · המשך
2x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
2x = π + 2πk
מחלקים ב־2:
x = πk , x = π2 + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π מתקבלים:
x = 0 , x = π2 , x = π
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g · המשך
x = 0 , x = π2 , x = π
סוג הנקודות – נציב מספר מכל תחום בנגזרת:
g′(π4) = −2sin π2 = −2 < 0
g′(3π4) = −2sin 3π2 = 2 > 0
שיעורי y – מציבים ב־g(x) = cos(2x) :
סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g · המשך
שיעורי y – מציבים ב־g(x) = cos(2x) :
g(0) = cos(2 · 0) = 1
g(π2) = cos(2 · π2)
g(π2) = cos π = −1
g(π) = cos(2 · π)
g(π) = cos 2π = 1
סעיף ב(2) – נקודות הקיצון של g · המשך
g(π) = cos 2π = 1
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 1) , מינימום (π2 , −1) , מקסימום קצה (π , 1)
סעיף ג – הגרפים באותה מערכת צירים
הגרף של f(x) = cos x (כחול) יורד מ־(0 , 1) עד (π , −1) . הגרף של g(x) = cos(2x) (ירוק) יורד מ־(0 , 1) למינימום (π2 , −1) ועולה חזרה ל־(π , 1) . הגרפים נפגשים ב־(0 , 1) וב־(2π3 , −12) :
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(0 , 1) , (2π3 , −12)
סעיף ב(1)
מקס. קצה (0 , 1) , מינ. קצה (π , −1)
סעיף ב(2)
מקס. קצה (0 , 1) , (π , 1) ; מינ. (π2 , −1)
סעיף ג
סקיצה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא